高三数学复习教学案例
一、教学内容分析：
本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。
二、学生学习情况分析：
任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、设计思想
本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标
通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
五、教学重点与难点
重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
六、教学过程设计
(一)知识准备、新课引入
提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：(多媒体幻灯片演示)
我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。
[设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。]
(二)判定定理的探求过程
1、直观感知
提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？
生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。
生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。
[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。]
2、动手实践
教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。
[设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。]
3、探究思考
(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线②平面内一条直线③这两条直线平行
(2)如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？
4、归纳确认：(多媒体幻灯片演示)
直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。温馨提示：
作用：判定或证明线面平行。
关键：在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。
思想：空间问题转化为平面问题
(三)定理运用，问题探究(多媒体幻灯片演示)
1、想一想：
(1)判断下列命题的真假？说明理由：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行()
②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行()
③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行()
(2)若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是()
A、a||B、aC、a||或aD、[学情预设：设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性，同时预设(1)中的③学生可能认为正确的，这样就无法达到老师的预设与生成的目的，这时教师要引导学生思考，让学生想象的空间更广阔些。]
2、做一做：
设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗？若存在请画出平面，不存在说明理由？
先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。
[设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。]
3、证一证：
例(见课本60页例1)：已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF||平面BCD。
变式一：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点，连结EF、FG、GH、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。(共6组线面平行)
变式二：在变式一的图中如作PQEF，使P点在线段AE上、Q点在线段FC上，连结PH、QG，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？(在变式一的基础上增加了4组线面平行)，并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四边形，说明理由。
[设计意图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。]
4、练一练：
练习1：见课本6页练习1、2
练习2：将两个全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起，设M、N分别为AC、BF中点，求证：MN||平面BCE。
变式：若将练习2中M、N改为AC、BF分点且AM=FN，试问结论仍成立吗？试证之。
[设计意图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化定理的运用，特别是通过练习2及其变式的训练，让学生能在复杂的图形中去识图，去寻找分析问题、解决问题的途径与方法，以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。]
(四)总结
先由学生口头总结，然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示)：
1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。
2、定理的符号表示：简述：(内外)线线平行则线面平行
3、定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。
正是高三复习迎考时节。一般，数学课总是充斥着试卷和教师讲解，不免沉闷，而在青浦区第一中学却是另一番场面。
黑板上，老师写上最具代表性的题目。50名学生分成12个小组，每个小组先讨论解题思路，然后派代表上台讲解。“思路不够严密”、“还有更好的方法”……台下踊跃发表意见，老师适时点拨。这情形很像电视节目里的才艺擂台，老师更像是主持人。
近日，首届国家基础教育课程改革教学研究成果奖揭晓，“青浦实验：新世纪教师‘行动教育’”获一等奖。“青浦实验”是青浦区大面积提高学校教学质量的有效经验，已在全市乃至全国推广。近年来，青浦教育不断深化“青浦实验”，以“少教多学、以学定教”为价值取向，积极推进“新课堂”实验，涌现了一批像青浦一中这样的“吃螃蟹”者。
课改小组每人收到一串大闸蟹
青浦一中创建于1999年，2007年升格为区重点，每年学生中考、高考成绩在区里排名靠前。从应试角度看，“成绩单”可算漂亮。可深深的危机感还是像块大石头，压在学校心头。老师大量讲授、训练，学生成绩是上去了，换来的却是教学双方叫苦不迭。经常能看到这样的情景：一下课，学生纷纷趴在课桌上休息，回到办公室的老师则趴在办公桌上休息。老师教得累，学生学得累，这样的课堂感受不到教和学的愉悦，必须改。校长提出：老师讲课时间尽量压缩，把课堂还给学生，激发学生的学习自主性和潜能。老师们反弹得厉害：“少讲，学生怎么会懂？”“学生成绩下降怎么办？”
2008年底，26名教师组成课改“攻坚”小组，第一项任务：考察学习以“先学后教”著称的全国名校江苏洋思中学。考察回来，校长送给车上每位老师一串大闸蟹，寓意“我们要做吃螃蟹的人”。回校后，开始选择课改实验点。课改小组决定，一选高中、二选高三、三选高三数学。
黄深洵老师教的是高三试点班。当时这个班数学成绩年级倒数。在课改小组指导帮助下，黄老师转变了教学方法；仅一学期，这个班的数学成绩便“异军突起”：由原来低于年级平均分11.15分，缩小到4.9分。课堂变得生动活泼，学生自信心得到提升。“新课堂”实验，由此在全校推开。
教学的生命在课堂。一堂课上得好不好，最终看学生的接受率高不高。智慧的课堂并不是单一的“你讲我听”，而是要充分调动学生积极性，开动脑筋，主动思考，才能将知识内化为能力。高中生在课堂上也可如此活跃！究竟怎样的课堂改革，能让师生愉悦？
上课前设计“预学单”，老师平均每堂课讲课时间控制在8分钟，让每个学生都“动”起来……青浦一中的课堂实验由许多新鲜元素组成。没有预学，老师不能上课，这是一条硬规定。课前，老师会设计好一张“预学单”，发到学生手中。例如，数学老师上“函数的性质”前，预学单上要求学生自学函数概念、定理，做小练习，提出问题，老师上课前要批改预学单。“预学”与传统的“预习”，一字之差，更凸现“学”字，包含基础预学、拓展预学、探究预学、自主预学、合作预学、文本预学、活动预学等。
“新课堂”令人耳目一新
教师可以如此“悠闲”。在初二“反比例函数”数学课上，学生通过课前预学，基本学会了画反比例函数图像，每个小组选出代表到黑板上演示。刚画好，就有学生质疑：列表要不要加省略号？与正比例函数图像有何区别……老师微笑着站在一旁，处“乱”不惊，学生的提问正是老师想要强调的，接下来便循循善诱。老师讲课时间不超过8分钟。
学生可以如此投入。高二生命科学课上“激素调节”章节，各个学生小组遇到问题热烈讨论，遇到上台展示的机会则争先恐后“秀”一把。老师透露，给学生分组很有讲究，4—6人一组，包含学习能力强、中、弱学生，还要男女搭配，活跃的与内向的搭配。以前，老师总认为高中生比较“闷”，没想到在新课堂里，这些大孩子也可以活跃起来。
课堂改革的一项重要任务就是让课堂有趣、有效、活起来，成为师生愉悦、教学相长、潜能开发的场所。因为，分数固然重要，但比之更重要的是学生的可持续发展能力。
每一堂课都是“公开课”
数学老师王晓洁在一篇“听课感悟”中写道：最近，我听了赵丽萍老师的地理课《沪宁杭地区》，受到不少启发。例如，“填图定位”，通过填图让学生对地理名称有初步了解；又如，“以问导学”，引导每个学生小组收集整理问题，拿到课堂上讨论……这些教学方法可以“嫁接”到数学课上。
数学老师听地理课？这是青浦一中为提升教师专业发展水平而推行的举措。学校实行“课堂全开放”：每位老师上每堂课都要做好开“公开课”的准备。新教师主要听本学科、本年段课，资深教师要跨年段、跨学科听课。因为，教师间的差异本身就是学习资源。如今，一个整齐高位的教学团队已初见雏形：过去，高中各班数学平均分落差大，现今最高、最低班级平均分相差仅3.9分。
青浦一中是青浦区诸多教改“试验田”中的一块——白鹤中学对教研组长等学科干部实行任期聘任制，由他们负责抓课堂、抓教学，“学科干部”带动所有教师潜心研究教学，从备课、上课，到布置作业、批改等方面总结教学经验和方法，全校共享，几年时间内将原本薄弱的学校办成区级规范学校。
青浦实验中学校本研修集中“兵团作战”，采用学科项目工作室的形式，以项目推进为抓手，注重解决实际教学中的新问题，如语文的阅读存在广度、深度有限的瓶颈，语文项目工作室教师集中攻关，确定了朗读教学、教材处理等10个主题，提升教学质量。
来自基层学校的教改经验，被写入最新出台的《青浦区中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》：以“少教多学、以学定教”为价值取向，积极推进课堂教学改进计划；建设“师生共同期待、共同创造、共同分享、共同成长”的愉悦、高效课堂。
公开课不仅是展示课，更是检验教师真才实学的开放课，比拼的是不同教师的教学风格和方法，教师们通过这种方式互相学习，取长补短。如果教师能把每堂课当成公开课去上，那么他的教学能力也会不断提升，最终受益的是学生。
一、复习内容
等比数列的求和公式及其推导方法。
二、复习重点
等比数列的求和公式的运用及其解题过程中分类思想的体现。
三、具体教学过程
1．学生准备课前预习回家做作业。其具体步骤是：①相应知识的系统梳理；②典型例题的摘录；③搜集平时作业，测验作业中存在的典型错误；④提出针性训练的练习题；⑤准备思考题，以及家庭作业。学生的准备可以从中选择一项，学有余力的同学可以多选。
2．学生可以分为出题组、答题组和归纳组（每组3～4人），三个小组又可构成一个大的探究组，各小组的角色在其过程中可以互换；教师从旁引导，控制教学节奏，并有机、适时地对有争议的问题或引起认知冲突的部分作相应的释疑，最后选出具有代表性的题目和表达最完整的归纳展示给学生。
出题组：在教师的引导下，确立出题意图后，可以自编或在课本、资料中寻找适当的例题。
答题组：迅速给出题目答案或解题思路步骤（由学生自己讲解），同时确立该题所考察的知识点和方法，并互相讨论解题过程中的易错点和容易忽视的问题。
归纳组：对照相应的问题，归纳出解决问题的关键和方法及其需要注意的事项。并以书面的形式给出，可充分利用投影的方式展示给学生。
3．教学中教师按上述环节顺序，让每一环节准备相同内容，学生自己选择一人担任主讲，其余同学组成评议组，主讲讲解完后，由评议组补充、完善或评价、矫正……。
4．教师控制教学节奏，并有机、适时地对有争议的问题或引起认知冲突的部分作相应的释疑。
5．在学生自己完成这一复习环节后，师生共同完成教师的精选题例题的讲解，同样采用启发讨论式，尽可能地让学生自己完成问题的解答。
6．课尾教师进行点评、归纳、小结（最好由学生自己完成），并评选本课“主讲明星”与“最佳评议”。
四、案例分析及其反思
1．让学生走上讲台，既为学生提供展示才华的舞台，满足其表现欲，尝试成功感，又让学生亲历知识掌握的构建过程。
2．由于要自己完成课前的准备作业和讲解内容，迫使学生进行章节的全面复习，对知识进行系统整理，这一复习环节，却真正达到了学生自觉地学习，使学生由被动学习转化为主动学习，提高学习效率。
3．组织这样的课堂教学流程，培养了学生口才、组织能力、逻辑思维能力、应变能力、心理承受能力等等，促使学生的个性达到良性的发展。
4．由于改变了课堂的传统座位排法，学生得到了互相帮助的机会，学习较差的学生能直接得到学有余力的同学的帮助和指导，更容易掌握和理解所学的知识，调动兴趣，提高了学习能力。互帮互学为学生营造了一个轻松、愉快的学习氛围。打破教师出题，学生解答的单调教学模式。通过学生自己变式，充分体现学生的主体性，使他们对一类问题有根本性地掌握，起到以点带面的效果。通过以组题的形式让学生通过有目的的联想，探索习题之间的内在联系，明确问题产生的背景，领会问题的实质，进而找到相应的解题策略，培养学生的思维的灵活性和广阔性，进一步完善、深化学生的认知结构。
《数学课程标准》指出：“教师应激发学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能……”。这就是一次很好的机会，教师要鼓励、引导学生敢于质疑、敢于实践，培养学生主动探究问题的能力，转变学生学习方式，即变单一的传授方式为学生自主体验、探究等学习方式。
复习课上都有一个突出的矛盾，那就是时间太紧，既要处理足量的题目，又要充分展示学生的思维过程，二者似乎是很难兼顾。教师可采用“焦点访谈”法较好地解决这个问题，如：例2和例2的变式1的探究，因题目是“入口宽，上手易”，但在连续探究的过程中，在两种方法会得出两个相反的答案这一点上搁浅受阻（这一点被称为“焦点”，其余的则被称为“外围”）。这里教师不必在外围处花精力去进行浅表性的启发诱导，好钢要用在刀刃上，而要在焦点处发动学生探寻突破口，通过交流“访谈”，集中学生的智慧，让学生的思维在关键处闪光，能力在要害处增长，弱点在隐蔽处暴露，意志在细微处磨砺。
1． 背景
复习课是根据学生的认知特点和规律，在学生学习数学知识的某一阶段，以巩固、梳理已学知识、技能，促进知识系统化，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力为主要任务的一种课型。其目的是温故知新，完善认知结构，发展数学能力。复习课的类型包括专题复习课、单元复习课、期末总复习课等。
应该说，复习课是课堂教学的重要课型之一，在高中数学教学中占有重要的地位。但受应试教育思想的影响，传统的复习模式是以教师为中心、以知识为中心，“教师提问学生答、教师罗列学生抄、教师归纳学生听”。复习成为是旧知识的简单再现和机械重复，大搞面面俱到和题海战术。于是，上复习课被人喻之为“炒冷饭”，一般的做法都是先是一大段复习讲解，几乎占去大半节课的时间，然后讲几个例题，再做一些相应的练习,把学过的知识像“炒冷饭”地再现给学生。这样的课堂就是教师在滔滔不竭地讲，学生安安静静地听，偶尔提问几个同学，整堂课的气氛较为沉闷。按照这种模式复习，带来的结果是课堂气氛低沉，激不起学生参与的积极性，“学生乏味，教师烦恼”，花费时间多，收效不大，难以达到预想的效果。如此一来，学生往往处于被动的接受地位，学习热情和积极性不高，常常是“听听懂，做做却不会”，能力没有得到根本性的提高，反而产生厌学情绪，造成“炒冷饭，炒得不冷不热，不生不熟”的局面。
2． 案例
近日，我们课题组针对上述情况进行了对比教学研究。由两位青年教师执教同一课题《动点轨迹的探求》，各自独立备课，然后上课，全体课题组成员参加听课。
第一位教师姓杨， 杨老师执教的是高二（2）班，是学校里的重点班，学生基础较好。该班的教学过程是这样的：
一开始，杨老师就用多媒体打出四道求轨迹的问题：
（1）已知线段│AB│=2，动点P分别与A、B相连，所得连线的斜率之积为－2 ，求点P的轨迹方程。
（2）已知点A是圆x + y = 16上的动点，一个定点M（8，0），动点P是线段MA的中点，求点P的轨迹方程。
（3）已知动圆M和圆C1：（x＋1） + y = 36内切，并和圆C2: （x－1） + y = 4外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
（4）已知动直线L1: ax＋y＋1=0 , L2: x－ay－1=0 ，求L1和L2的交点P的轨迹方程。
老师请学生拿出纸和笔在下面做。这四道问题分别代表了求轨迹方程的四种基本方法：直接法、转移代入法、定义法和交轨法。学生试解，教师巡视。大致10分钟后，教师在学生中每道题选了一份答案，用实物投影仪依次逐题进行了投影、分析、点评，并对第四题进行引导启发，让学生发现了还可用几何法求解。接着， 教师对知识进行归纳总结，用幻灯片打出求轨迹方程的一般步骤和常用方法。
然后，教师又打出了一道问题：
已知Q是椭圆 (a＞b＞0)上的任一点，过右焦点F2作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P . 求点P的轨迹方程。
学生思考片刻后，教师请同学说思路，老师板书。第一位学生是用直接法求。通过教师提示，第二位学生提出另一种思路：用转移代入法。师生继续探讨，又有学生发现了第三种思路：用几何法，非常简单易求。教师由此指出：求轨迹的重点是研究动点的本质。
最后，教师请学生自己出题自己解，用多媒体打出想一想：
已知△ABC中，定点A（－c,0）, 定点B（c,0）,试添加适当的条件，求出顶点C的轨迹方程。
这是一道条件开放的问题，学生们个个跃跃欲试。
学生1：添加条件│AC│+│BC│= 4c ,求得方程为 (y≠0) 学生2: 添加条件│AC│=│BC│ , 求得方程为x=0(y≠0).
学生3: 添加条件K ·K =－1 , 求得方程为x + y = c (y≠0).
学生4: 添加条件│AC│－│BC│=c（双曲线的一支）……
教师给予一一点评、鼓励，气氛热烈，可下课的铃声响了。教师留下问题让学生课后继续思考：是否还可以考虑椭圆？是否还可以考虑角的关系呢？
第二位上课的是王老师，他执教的是高二（7）班，是普通班，学生基础相对一般。
一上课，教师请同学回顾曲线与方程的定义，接着就打出如下一道开放性问题：
已知△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别是BC、AC、AB,其中若AB=4 .请你建立适当的坐标系，并添加适当的条件，求出顶点C的轨迹方程。
学生看到题目沉寂了一段时间，教师终于发现一位同学说：“添加条件∠C=90°”。然后老师就叫同学们在下面做，教师巡视。过了一会儿，教师拿了一位学生的解答过程，用实物投影仪展示，发现学生的解题过程很零乱。于是，教师就自己动手，在黑板上把解题过程规范地书写出来。
紧接着进行变式教学，打出变式（1）：求此时△ABC的重（外）心G 的轨迹方程。
教师边讲边写，师生共同求出重心的轨迹方程。教师点评指出：刚才用的是转移代入法。
又打出变式（2）：已知两线L1:y = k（x+2）,L2:y = － ·（x－2）,求出两直线交点P的轨迹方程。
教师用消参法板书了解题过程，接着又较快地指出该题还可以用勾股定理来解，也可以用圆的知识解，也可以用面积关系解，还可以用向量解。
然后，教师又一下子打出了一大片的变式题，学生见了唏嘘、哗然。教师说了“这些在书上都有”就开始了内容小结。小结完，又打出了六道题作为作业。但此时离下课时间还有好几分钟，于是教师又打开几何画板解释：前面条件变为│AC│+│BC│=8或│BC│－│AC│=2时的图形，一直到下课。
3． 对比研究
以上两堂复习课对传统的“炒冷饭”式的复习模式进行了有力的挑战,并取得了一定的成效,尤其是前面的杨老师的上课可以说是比较成功的。课后，我们课题组成员进行了热烈的讨论，通过剖析研究，对高中数学复习课教学达成以下共识：
3．1 课前要预先给学生布置任务：梳理有关的知识和思想方法，尝试解决一些教师事先设计好的基础问题。如根据本节课内容就可以课前布置学生梳理求轨迹方程的一般步骤和基本方法等基础知识，并尝试解决前面高二（２）班学生刚开始所练的四道基础题。
3．2 复习课重在梳理知识，建构知识网络，使学生原有的认知结构得以优化和完善，再通过问题解决，落实通性通法，提高学生的认知水平和综合解决问题的能力。具体的教学形式可以概括为三类：
一是对于“全生不熟”的“全生饭”，可采取“先理后解”：先罗列基础知识后解决相关问题。其适合学生基础差、认知结构极其模糊的班级，如职业高中和综合高中的一部份学生。
二是对于“半生半熟”的“夹生饭”，可采取“边解边理”：对于学生基础中等的班级，可以把解决问题与梳理知识同步进行，如前面高二（７）班若采用这种方式上课可能效果会更好。
三是对于“全熟不生”的“全熟饭”，可采取“先解后理”：像前面上课的杨老师采用“问题（基础性）→知识→问题（开放性）”的教学过程，这对于基础较好的班级是非常有效的。先让学生体验，做一些“感觉能做，做起来又容易错的” 基础题，在实践中构建知识网络体系，然后又运用到解决更开放的问题中去。
3．3培养学生的创新意识和综合能力是数学教学的总目标，应贯穿在复习课教学的全过程。为此，复习课可以借鉴上述两位教师的做法，采用开放式教学，设计一些开放性问题。不过他们也有不足之处，他们设计时只注重了条件开放问题。其实，不但是条件开放，还可以是结论开放、方法开放，所以作为数学教师，还应重视结论的开放。另外，还可以引导学生变换问题，进行发散，比如前面王老师采用了变式训练进行教学，这对于培养学生的创新意识和综合能力是很有好处的。
3．4 教育学家第斯多惠指出：“学生的发展水平是教学的出发点”，所以复习课的问题设计一定要适合学生的实际水平，真正做到“人人学有价值的数学，不同的人学不同的数学，人人在数学上都能得到不同的发展”。比如，前面（2）班的学生基础较好，还可以提高开放程度，最大限度的发挥学生学习的潜力；而（7）班却要降低难度，让学生练习成功越多，成就动机就越强，学习兴趣就越浓。常言道：“知之者，不如好知者，好知者，不如乐知者”，有了兴趣，就可以变苦学为乐学了。
3．5 上复习课，教师要着力改变学生的被动地位。从前面杨老师的上课中可以发现：学生应是有能力、有水平、勇于探索的探究者，而教师只是导演，并不是演员，不能完全包办，应把课堂还给学生。为此，教师根据学生的实际水平设计一些开放题，比如让学生添加适当的条件再解题，可以极大地调动学生的学习积极性，提高课堂效率。
同时，还可发现：上复习课，教师还要善于采取启发式教学，关注学生、引导学生，突出学生的主体性，留出足够的时间和空间、让学生进行充分的思维活动。教师更多的应是组织者、引导者和促进者，所以，教师平时应加强启发技能方面的培养。
3．6 教师上复习课应注意解决好思维过程的细化问题。现代教学论认为，数学教学应理解为一种思维活动的教学，数学课是训练学生思维的体操。复习课大量时间是花在习题的剖析上，通过解题方法的讲解转化为学生能力的提高。因此，教师不仅在讲解中要生动地暴露自己的思维过程，而且，特别要注意给学生以充足的时间思考问题，并充分地暴露他们的思维过程，让学生出声思维就是一种很有效的手段。在这一点上，前面的王老师在这一堂课上就显得欠缺了点。
3．7 前两位老师还有一个共同的缺点：比较忽视反思！事实上，教师在复习课中要非常重视解题后的反思，因为反思能力是教师教学水平的重要体现，所以，教师在上复习课中，有必要加强反思这一环节。同时，也要培养学生的反思能力，课后可以布置一些思考题给学生思考，他们有什么想法也可以写在作业本上反馈上来，让思维飞向更高更远！
4．复习课教学的原则
通过以上对比研究,我们总结认为高中数学复习课应遵循以下原则：
4.1． 问题性原则
解决问题既是学习知识的手段,也是学习知识的目的,能否提出对学生具有挑战性和吸引力的问题并使学生产生问题意识,是数学复习课教学的关键。比如上述两位老师都能从创设问题情景着手引入教学，提出问题、设置悬念，引导激发学生对问题知识性的回顾、联想、探究和发现，达到既解决问题又梳理知识的目的；接着，教师又将教学随着问题的层层递进而引向深入，从而深化知识，提升能力。这样做，一方面可以培养学生的兴趣，因为学习的目的和魅力就在于知识的应用，使学生看到他们在课堂上学到的并不是空洞无用的东西，而是和我们遇到的问题紧密相联的有价值的知识和能力；另一方面，通过应用又可以反过来检验学生的能力和对知识的掌握情况，进而加深对知识的理解；第三，促进学生数学能力的形成，使学生明确感受到数学知识和能力形成的动因—过程—归宿，从而形成对数学比较完整的认识。所以，问题应是数学复习课教学的起点和主线，也是数学复习课教学的归宿。
4.2．自主性原则
在复习过程中，要把复习课的自主权还给学生，让学生成为课堂的主体，真正改变学生的被动地位,充分发挥学生的自主性，让学生积极、主动地参与复习的全过程，特别是要让学生参与归纳、整理的过程，不要用教师的归纳代替学生的整理。在复习中要体现：知识让学生梳理；规律让学生寻找；错误让学生判断。充分暴露学生的思维过程，充分调动学生学习的积极性和主动性，激发学生学习兴趣。
4.3．针对性原则
复习必须突出重点，针对性强，注重实效。在复习过程中，一是要注意全班学生的薄弱环节，二是要针对个别学生的存在问题。要紧扣知识的易混点、易错点设计复习内容，做到有的放矢，对症下药。同时，复习课的问题设计一定要针对学生的实际水平，既要最大限度的发挥学生的学习潜能，又要让他们充分享受到成功的喜乐，变苦学为乐学！
4.4．系统性原则
在复习过程中，必须根据知识间的纵横联系，系统规划复习和训练内容，使学生所学的分散知识系统化、网络化，从而完善和优化学生的数学认知结构，提高学生的数学素养。
4.5．过程性原则
现代教育心理学研究指出，学生的学习过程和科学家的探索过程在本质上是一样的，都是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。所以，在复习课教学中，教师既要充分暴露自己生动的思维过程，让学生领略到流畅的思维所带来的数学美，同时，又要充分关注学生的学习过程，关注学生的情感体验和精神领悟，关注学生如何发现问题和思考解决问题，关注留给学生的发展空间和时间是否充分，等等。
4. 6. 开放性原则
在复习过程中，可以设计一些开放性问题，不但是条件开放，还可以是结论开放、方法开放，以培养学生的创新意识和综合能力。另外，复习课的功夫也不仅仅是下在课内，还要用在课外：课前可以布置一些简单的任务让学生完成，课后也可以布置一些开放性思考题或针对性练习，让他们继续思考和练习，并随时可以跟老师或学生交流、探讨，让思维在更宽广的空间里延续。
5. 复习课教学的建议
5 . 1 复习课的操作程序
根据以上原则，对于高中数学复习课，我们可以得到以下“四环节”教学模式：
课前布置任务→梳理知识与解决问题（先理后解、边解边理或先解后理）→开放教学→课后反思与练习
5．2 教师应具备的基本素质
新的复习模式对教师提出更高的要求，教师应努力具备以下条件：
5.2.1 要有较强的教学设计能力，能认真钻研大纲和教材，根据学生的实际水平，把握好复习的要求，制定好复习内容和计划，设计好复习过程。
5.2.2 要有较强的驾驭课堂的能力，特别是要善于启发学生积极参与思维，调控好课堂节奏，努力创造民主、平等、和谐、充满情趣的课堂氛围，让课堂教学成为有声有色、富有活力的生命历程。
5.2.3 要正确把握教师的角色，当好课堂教学的组织者、引导者和促进者，为充分保障和发挥好学生的主体性作用服务。
5.2.4 要有较强的反思能力，既要重视课内解题后的反思，以及引导学生对学习行为的反思、及时改进学习方法，又要重视课后对教师的教学行为、教学方法和教学理念的反思总结，提高教学水平。
最后，让我们齐心协力，投身到彻底打破“炒冷饭”的局面、让复习课焕发出生命活力的实践中去，也让理论在实践中得到检验和完善！
进入高三阶段，由于各学科知识量大幅增加、知识难度大幅提升，导致学生的学习难度加大。尤其是数学课，习题量的大幅增加会使学生明显感到学习压力骤然增大，觉得数学科的学习是一件枯燥无味的苦差事，进而放弃繁重的学习任务。因此，如何上好高三数学复习课就成为众多数学教师和家长关注的问题。
高三数学复习课一般采用对复习内容进行知识点的罗列整理、例题讲解、变式巩固、归纳小结的课堂模式。这种模式建立在教师对课程标准和考纲的深刻理解和丰富经验基础之上，优势在于知识系统性强、能突出复习的重点和便于作，但也存在学生自主复习、主动探究不够的问题。特别是对于那些数学基础比较薄弱的学生，他们本身就缺乏对数学知识的系统了解，更不可能主动去整理每章节的知识要点和重点，只能依靠教师去总结罗列知识点，形成知识网络，让学生被动的接受数学知识的纵向和横向联系。
笔者认为，新课标理念下高三数学复习课模式应该体现在：第一层次是学生在头脑中对知识点和解题方法的简单再现；第二层次是通过一系列的学习活动融入了学生积极的思考，使得学生达到对知识理解的加深和应用能力的提高；第三层次解决相应问题中“容易出错和被忽略的问题”，加深印象，尽量在今后的学习中减少和避免类似的错误。我们可以借鉴这样的模式：教师有意设法让学生在活动中展现易犯的错案→学生自己评价判断、发现问题→师生共同分析、纠正错误、解决问题。这样的“三部曲”就很好的避免了教师主观以自己手（口）展现学生易犯的错误，让学生积极主动分析和解决问题，防止教师的“包办”和“灌输”。在这样的课堂上复习已不再是传统意义的“复习”，它不是把上过的课再上一遍，让学生体验到的也不是把走过的路再走一遍，而是有所创新，在已有知识和经验的基础上走一条似曾相识的新路，并从中感受到进步和成功的快乐。它是一个达成新知的连接点，用前瞻的眼光去回顾和总结“过去”，达到另一个新的高度。
一、复习内容
平面向量的概念及运算法则
二、复习重点
向量的概念及运算法则的运用及其用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。
三、具体教学过程
1．学生准备课前预习回家做作业。其具体步骤是：①相应知识的系统梳理；②典型例题的摘录；③搜集平时作业，测验作业中存在的典型错误；④提出针性训练的练习题；⑤准备思考题，以及家庭作业。学生的准备可以从中选择一项，学有余力的同学可以多选。
2．学生可以分为出题组、答题组和归纳组（每组3～4人），三个小组又可构成一个大的探究组，各小组的角色在其过程中可以互换；教师从旁引导，控制教学节奏，并有机、适时地对有争议的问题或引起认知冲突的部分作相应的释疑，最后选出具有代表性的题目和表达最完整的归纳展示给学生。
出题组：在教师的引导下，确立出题意图后，可以自编或在课本、资料中寻找适当的例题。
答题组：迅速给出题目答案或解题思路步骤（由学生自己讲解），同时确立该题所考察的知识点和方法，并互相讨论解题过程中的易错点和容易忽视的问题。
归纳组：对照相应的问题，归纳出解决问题的关键和方法及其需要注意的事项。并以书面的形式给出，可充分利用投影的方式展示给学生。
3．教学中教师按上述环节顺序，让每一环节准备相同内容，学生自己选择一人担任主讲，其余同学组成评议组，主讲讲解完后，由评议组补充、完善或评价、矫正……。
4．教师控制教学节奏，并有机、适时地对有争议的问题或引起认知冲突的部分作相应的释疑。
5．在学生自己完成这一复习环节后，师生共同完成教师的精选题例题的讲解，同样采用启发讨论式，尽可能地让学生自己完成问题的解答。
6．课尾教师进行点评、归纳、小结（最好由学生自己完成），并评选本课“主讲明星”与“最佳评议”。
四、案例分析及其反思
1．让学生走上讲台，既为学生提供展示才华的舞台，满足其表现欲，尝试成功感，又让学生亲历知识掌握的构建过程。
2．由于要自己完成课前的准备作业和讲解内容，迫使学生进行章节的全面复习，对知识进行系统整理，这一复习环节，却真正达到了学生自觉地学习，使学生由被动学习转化为主动学习，提高学习效率。
3．组织这样的课堂教学流程，培养了学生口才、组织能力、逻辑思维能力、应变能力、心理承受能力等等，促使学生的个性达到良性的发展。
4．由于改变了课堂的传统座位排法，学生得到了互相帮助的机会，学习较差的学生能直接得到学有余力的同学的帮助和指导，更容易掌握和理解所学的知识，调动兴趣，提高了学习能力。互帮互学为学生营造了一个轻松、愉快的学习氛围。打破教师出题，学生解答的单调教学模式。通过学生自己变式，充分体现学生的主体性，使他们对一类问题有根本性地掌握，起到以点带面的效果。通过以组题的形式让学生通过有目的的联想，探索习题之间的内在联系，明确问题产生的背景，领会问题的实质，进而找到相应的解题策略，培养学生的思维的灵活性和广阔性，进一步完善、深化学生的认知结构。
5、教学模式恰当，引人入胜
“探究讨论式”是一种常用的教学方法。然而，本课探索“向量的应用”却颇有难度，尤其是几何与代数之间的问题转化。为了突破这一难点，首先复习旧知识，预备铺垫，接着设计简单的几何图形中的代数求值问题。教师在思想方法上的点拔，思维层次上的递进，让学生分享自己成果的乐趣，体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引领者与合作者。”的教学理念。整个教学设计，思路清楚，层次转换自然，点拨及时，自然流畅，引人入胜。
6、体现先进理念，合作探索
建构主义认为：学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的学习，一种知识的重组或重新建构的过程。因此，学习方式的转变，对学生的学习至关重要，也是二期课改成败的要害。本课注重学生学习方式的转变，教者适时点拨，发现问题，培养探索精神。从轻易混淆的性质入手，让学生发现问题，出现迷惑，接着，对向量平行充要条件的研究，培养了学生思维的深刻性，通过概念的辨析，使学生对向量有了更深的理解，此时推出综合应用题，过渡自然，符合认知规律。同学探究，思维得到进一步的升华，攻克难点，培养了合作精神。通过展示研究成果，让学生感到爱好盎然而布满探索求知的愿望，学生的主体地位得到了淋漓尽致的发挥。体验成功的喜悦，分享快乐，提高了学习的积极性。
熟知，课堂教学“以教师为主导，以学生为主体”这句话好说难做。如何落在实处，本课做了有益的尝试。案例的设计，具有时代气息，以问题为先导，直接引导学生进入思考的境界。教案的设计说明，体现了教者“以学生发展为本的教学理念”。
《数学课程标准》指出：“教师应激发学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能……”。这就是一次很好的机会，教师要鼓励、引导学生敢于质疑、敢于实践，培养学生主动探究问题的能力，转变学生学习方式，即变单一的传授方式为学生自主体验、探究等学习方式。
复习课上都有一个突出的矛盾，那就是时间太紧，既要处理足量的题目，又要充分展示学生的思维过程，二者似乎是很难兼顾。教师可采用“焦点访谈”法较好地解决这个问题，如：例2和例2的变式1的探究，因题目是“入口宽，上手易”，但在连续探究的过程中，在两种方法会得出两个相反的答案这一点上搁浅受阻（这一点被称为“焦点”，其余的则被称为“外围”）。这里教师不必在外围处花精力去进行浅表性的启发诱导，好钢要用在刀刃上，而要在焦点处发动学生探寻突破口，通过交流“访谈”，集中学生的智慧，让学生的思维在关键处闪光，能力在要害处增长，弱点在隐蔽处暴露，意志在细微处磨。
一、教学目标
●知识与技能：
理解n次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。
●过程与方法：
通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。
●情感态度与价值观：
使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。
二、教学重点、难点
重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。
难点：二项分布模型的构建。
三、教学方法与手段
教学方法：诱思探究教学法
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：多媒体辅助教学
四、教学过程
环节教学设计设计说明
创设情景，导入新课
猜数游戏：
游戏：有八组数字，每组数字仅由01或10构成，同学们至少猜对四组才为胜利(请看幻灯片演示)
问题1：前一次猜测的结果是否影响后一次的猜测？也就是每次猜测是否相互独立？
问题2：游戏对双方是否公平？能否从概率角度解释？
活跃课堂气氛，学生的热情被充分地调动，从而也引起学生的无意注意，在不知不觉中进入教师设计的教学情景中，为本节课的学习做有利的准备
学生回答这个问题的同时，可以初步体验独立重复试验模型，为定义的提出作好铺垫。
引起学生的好奇，激发学习和探究知识的兴趣。
师生互动，探究新知：
在满足学生的好奇之前让学生对这两个例子进行对比分析，目的是让学生进一步体验独立重复试验模型，并得出其特征，使定义的提出水到渠成，
从探究游戏中的第二个问题入手，引导学生合作探索新知识，符合“学生为主体，老师为主导”的现代教育观点，也符合学生的认知规律，同时突出本节课重点，也突破了难点。